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2017年湖南省益阳市中考数学模拟试卷

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相关专题: 益阳市 数学


2017年。湖南省益阳市中。考数学模拟试卷(4)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共4。0分)
1.在0,?1,1,2这四个数中,最小的数是(  )
A.?1  B.0      C.1      D.2
2.函数y=的自变量x的取值范围是(  )A.x≠3       B.x≥?1且x≠3 。  C.x≥?1  。 D.x≤?1或x≠3
3.不等式。组的解集是(  )
A.x>2       B.x<5       C.2<x<5 D.无解
4.小明家上个月支出共计800元,各项支出如图所示,其中用于教育上的。支出是(  )

A.232元    B.200元    C.160元    D.80元
5.如图所示,“数轴上。的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P所表示的数是”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(  )

A.代入法   B.换元法   C.数形结合。      D.分。类讨论
6.如图,把矩形ABC。D沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=(  )

A.110° B.115° C.120° D.130°
7.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB、BC、CA。上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是(  )

A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形C.如果AD。平分∠B。AC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四。边形AEDF。是正方形
8.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点B,则P。B的最小值是(  )

A. B.   C.3      D.2

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30。分)
9.若?4xay+x2yb=?3x2y,则a+b=  
10.已知∠A=65°,则∠A的补角等于  
11.关于x的方程的解是正。数,则a的取值范围。是  
12.某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长24。00m的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成。的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结。果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修。路。xm,则根据题意可得方程  
13.从?1,1,2这三个数中,任取两个不同的数作为一次。函数。y=kx+b的系数k,b,则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概。率是  
14.如图,点A、B是反比例函数(x>0)图。象上的两个点,在。△AOB中,OA=OB,BD垂直于x轴,垂足为D,且AB=2BD,则△AOB的。面积为  


三、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
15.先化简再计算:,其中x是一元二。次方程x2?2x?2=0的正数根.
16.已知两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,则有k1•k2=。?1,若直线经过A(2,3),且与y。=?x+3垂直,求。该直线的表达式.
17.如图,在△AB。C中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E,连。接BD.
求证:△ABC∽△BDC.


四、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
18.某校有一露天。舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB。表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障。安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC。=30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根。号);
(2)在楼梯口B左侧正。前方距离舞台底部C点3m处有一株大树,修新楼梯AD时底端D是否会触到大树?并说明理由.

19.某校九年级(1)班积极响应校团委的号召,每位同学都向“希望工程”。捐献图书,全班40名。同学共捐图书320册.特。别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书.班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分):






册数

4




5




6




7




8




50






人数




6




8




15










2





(1)分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数.
(2)请算。出捐书。册数的平均数、中位数和众数,并判。断其中哪些统计量不能反映该。班同学捐书册数的一般状况,说明理由.
20.某厂从2013年起开始投入资金改进技术,经技术改进后,某产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:

























年    度

2013



2014



2015



2016



投入。技改资金x/万元)



2.5




3



4



4.5



产品成本y(万元?件)



7.2



6



4.5



4



(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数。中确定哪种函数能表示其变化规律?说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.
(2)按照这种。变化规律,若2017年已投入技改资金5万元,预计生产成本每件比2016年降低多少万元?

五、解答题(本题满分12分)
21.已知正方形ABC。D中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成。立?若成立,请给出证明;若不成立,请说。明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意。角度,如图③所示,再连接相。应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).


六、解答题(本题满分14分)
22.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(?3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图(1),PQ是该。抛物线对称轴l上的动线段,且PQ=1,直。接写出PC+QB的最小值;
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E。点作平行于y轴的直。线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的。面积为S.求S与m的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)若。点M为抛物线上异于。F的一个动点,在第(3)问△ADF的。面积S取最大。值的情况下,若S△MAD=3S△ADF,请直接写出M点坐。标.



2017年湖南省益阳市中考数学模拟试卷(4)
参考答案与试题解析

一、选择题(。本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在0,?1,1,2这四个数中,最小的数是(  )
A.?1  B.0      C.1    。  D.2
【考点】有理数大小比较.
【分析】。一切负数小于0,两个负数作比较,绝对值大的反而。小.
【解答】解:∵在0,?。1,1,2这四个数中,
0,1,2均大于0,?1<0,
故?1最小.
故选A.

2.函数y=的自变量。x的取值范围是(  )
A.x≠。3       B.x≥?1且x≠3   C.x≥?1   D.x≤?1或x≠3
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即。可得解.
【解答】解:由题意得,x+1≥0且x?3≠0,
解得x≥?1且x≠3.
故选B.

3.不等式组的解集是(  )
A.x>2       B.x<5       C.2<x<5 D.无解
【考点】解一元。一次不等式组.
【分析】先求出两个不等式的解集,再求其。公共解.
【解答】解:,
由①得,x>2,
由②得,x<5,
所以,不等式组的解集是2<x<5.
故选C.

4.小明家上个月支出共计800元,各项支。出如图所示,其。中用于教育上的支出是(  )

A.232元    B.200元    C.160元    D.80元
【考点】扇形统计图.
【分析】根据总支出为800元,教育支出占总支。出的25%可得答案.
【解答】解:∵小明家上个月支出共计800元,其中用于教育上的支出占25%,
∴用于教育上。的支出为800×25%=200(元),
故选:B.

5.如图。所示,“数轴上的。点并不都表示有理。数,如图中数轴上的点P所表示的数是”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(  )

A.代。入法   B.换元法   C.数形结合    。  D.分类讨论
【考点】实数与数轴.
【分析】本题利用实数与数轴上的点对应关系结合数学思。想。即可求解答.
【解答】解:如。图在数轴上表。示点P,这是利用直观的图形??数。轴表示。抽象的无理数,
∴说明问题的方式体现的。数学思想方法叫做数形结合,
∴A,B,D的说法显然不正确.
故选C.

6.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=5。0°,则∠AEF=(  )

A.110° B.115° C.120° D.130°【考点】翻折变换(折叠问题).
【分。析】根据折叠的性质,对折。前后角相等.
【解答】解:根据题意。得:∠2=∠3,
∵∠1+∠2+∠。3=180°,
∴∠2=÷2=65°,
∵四边形ABCD。是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEF+∠2=180°,
∴∠AEF=180°。?65°=115°.
故选B.


7.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是(  )

A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD。平分∠BAC,那么四边形。AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形
【考点】正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判。定;矩形的判定.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形,有一个角是90°的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,四个角都是直角,且四个边都。相等的是正方形.
【解答】解:A、因为DE∥CA,DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形.故A选项正确.
B、∠BAC=90。°,四边形AEDF是平行四边形,所以。四边形AEDF是矩形.故B选项正。确.
C、因为AD平分∠BAC,所以AE=DE,又因为四边形AEDF是平行四边形,所以是菱形.故C选项正确.
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形,故D选项错误.
故选:D.
8.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上。的一个动点.若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是(  )

A. B.   C.3      D.2
【考点】。切线的性质.
【分析】连结OB,如图,根据。切线的性质得∠PBO=90°,则利用勾股定理有PB==,所以当点P运动到点P′的位置时,OP最小时,则PB最小,此。时O。P=3,然后计算此时的PB即可.
【解答】解:连结OB,作OP′⊥l于P′如图,OP′=3,
∵PB切⊙O于点B,
∴OB⊥PB,
∴∠PBO=90°,
∴PB==,
当点P运动到点P′的位置时,OP最小。时,则PB最小,此。时OP=3,
∴PB。的最小值为=.
故选B.


二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.若?4xay+。x2yb=?3x2y,则a+b= 3 
【。考点】合并同类项.
【分析】两个单项式合并成一个单项式,说明这两个单项式为同类项.
【解答】解:由同类项的定义可知
a=2,b=1,
∴a+b=3.

10.已知∠A=65°,则∠A的补角等于 11。5° 【考点】余角和补角.
【。分析】根据。补角的定义,得出补角为,即可得出答案.
【解答】解:∵∠A=65°,
∴∠A的补角为180°?65°=115°,
故答案为115°.

11.关于x的方程的解是正数,则a的取值范围是 a?1a?2 
【考点】分式方程的解.
【分。析】先去分母得2x+a=x。?1,可解得x=?a?1,由于关于x的。方程的解是正数,则x>0并且x?1。≠0,即?a?1>0且?a?1≠1,解得a<?1且a≠?。2.
【解。答】解:去分母得2x+a=x?。1,
解得x=?a?1,
∵关于x的方程的解是正数,
∴x>0且x≠1,
∴?a?1>0且?a?1≠1,解得a<?1。且a≠?2,
∴a的取值范围是a<?1且a≠?2.
故答案为:a<?1且a≠?2.

12.某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长2400m的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修路xm,则根据题意可得方程 ?=8 
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【。分析】求的是原计划的工效,工作总量为2400,一定是根据工作时间来列。等量关系.本题的关键描述语是:“提前8小时完成任务”;等量关系为:原计划。用的时间?实际用的时间=8.
【解答】解:原计划用的时间为:,实际用的时间为:.所列方程为:?=8.

13.从?1,1,2这三个数中,任取。两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k,b,则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的。概率是  
【考点】概率公式;一次函数的性质.
【分析】从三个数中。选出两个数的可能。有。6种.要使图象不经过第四象限,则k>0,b>0,由此可找出满足条件的个数除以总的个数即可.
【解答】解:列表,如图,k、b的取值共有6种等可能的结果;
满足条件的为k>0,b>0,即k=1,b=2或k=2,b。=1两种情况,
∴概率为.
故答案为:.

14.如图,点A、B是反比例函数(x>0)图象上的两个点,在△AOB中,OA=OB,BD垂直于x轴,垂足为D,且AB=2BD,则△AOB的面积为 3 

【考点】反比例函数综合题.
【分析】作等腰三角形底边上。的高,利用等腰三角形的性质和已知条件得到两。个三角形全等,由此可以得到△AOB的面积是△OBD的。2倍,进而求得△O。AB的面积.
【解答】解:作OC⊥AB于C点,
∵OA=OB,
∴AC=CB,
∵AB=2BD,
∴BC=BD,
∵∠BDO=∠BCO。=90°,OB=OB,
∴△O。CB≌△ODB,
∵S△OBD=,∴S。△。OAB=2S△O。BC=2×=3.
故答案为:3.

三、解答题(本。大题共。3小题,每小题8分,共24分。)
15.先化。简再计算:,其中x。是一元二次方程x2?2x?2=0的正数根.
【考点】分式的化简求值;一元二次。方程的解.
【分析】先把原式化为最简形式,再利用公式法求出一。元二。次方程x2?2x?2=0的根,把正根代入原式计算即可.
【解答】解:原式=÷
=•
=.
解方程x2?2x?2=0得:
x1=1+>0,x2。=1?<0,
所以原式==.

16.已知两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2。x+b2,若l1⊥l2,则有k1•k2=?1,若直线经过A(2,3),且与y=。?x+3垂直,求该直线的表达式.
【考点】两条直线相交或平行问题.
【分析】根据直线。互相垂直,则k1•k2。=?1,可得出过点A直线的k等于3,得出所。求的解析式即可.


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【解答】解:∵过点A直线与y=?x+3垂直,
∴设过点。A直线的直线解析式为y=3x+b,
把A(2,3)代入得,b=?3,
∴解析式为。y=3。x?3.

17.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线。分别与AC、AB交于点D、E,连接BD.
求证:△ABC∽△BDC.

【考点】相。似三角形的判定;三角形内角和定。理;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【分。析】由线段垂直平分线的性质,得DA=DB,则∠ABD=∠BAC=4。0°,从而求得∠CBD=40°,即可证出△ABC∽△BDC.
【解答】证明:
∵DE是A。B的垂直平分线,
∴AD=BD.∵∠BAC=40°,
∴∠ABD=40°,
∵∠A。BC=8。0°,
∴∠DBC=40°,
∴∠DBC=。∠BAC,
∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.

四、解答题(本。大题共3小题,每小。题10分,共30分)
18.某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地。面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障。安全,学校决定对。该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=。30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号);
(2)在楼梯口。B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一。株大树,修新楼梯AD时底端D是。否会触到大树?并。说明理由.

【考点】解直角三角形的应用?坡度坡角问题.
【分析】。(1)首先由已知AB=6m,∠ABC=45°求出AC和BC,再由∠AD。C=30°求出AD=2AC;
(2)根据勾股定理求出CD后与3m比较后即可得到答案.
【解答】解:(。1)已知AB=2m,∠。ABC=45°,
∴AC=BC=AB•sin45°=2×=,
答:舞台的高为米;


(。2)已知∠ADC=30°.
∴AD=2AC=2.
CD=AD。•cos30°=2×=。<3
答:修新楼梯AD时底。端D不会触到大树.

19.某校九年级(1)班积极响应校团委的号召,每位同学都向“希望工程”捐献图书,全。班40名同学共捐图书320册.特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母。的支持下各捐献了50册图书.班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分):
















8










册数

4



5



6



7



8



50



人数



6



15







2



(1)分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数.
(2)请算出捐书册数的平均数、中位数和众数,并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况,说明理由.
【考点】中位数;二元一次方程组的应。用;算术平均。数;众数.
【分析】(1)根据:全班40名同学和共捐图书320册这两个相等关系,设捐献7册的人数为x,捐献。8册的人数。为y,就可以列出方程组解决.
(2)找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位。数,众数是一组数。据中出现次数最多。的数据,注意众数可以不止一个.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.然后根据它们的意义判断.
【解答】解:(1)设捐献7册的人。数为x,捐献8册的人数为y,则

解得
答:捐献7册的人数为6人,捐献8册的人数为3人.


(2)捐书册数的平均数为320÷40=8,
按从小到大的。顺序排列得到第20,21个。数均为。6,所以中位数为6.
出现次数最多的是6,所以众数为。6.因为平均数8受两个50的影响较大,所以平均数不能。反映。该班同学捐书册数的一般情况.

20.某厂从20。13年起开始投入资金改进。技术,经技术改。进后,某产品的生产成本不断降低,具体数据如下。表:








2015










4




4.5







7.2









年    度。

2。013



2014



2016



投入技改资金x/万元)



2.5



3



产品成本y(万元?件)



6



4.5



4



(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二。次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律?说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解。析式.
(2)按照这种。变化规律,若2。017年已投入技改资金5万。元,预计生产成本每件比2016年降低多少万元?
【考点】反比例函数的应。用.
【分析】(1)根据表格中的数据可以发现规律并求出相应的函数解析式;
(2)将x=5代入(1)中的函数解析式即可解答本题.
【解答】解:(1)该函数是反比例函数,
理由:∵2.。5×。7.2=18,3×6=18,4×4。.5=1。8,4.5×4=18,
∴该函数是反比例函数,
∴它的函数解。析式为:y=;
(2)当x=5时,
y=,
4?3.6=0.4,
即。20。1。7年已投入技。改资金5万元,预计生产成本每件。比20。16年降低0.。4万元.

五、解答题(本题满分12分)
21.已。知正方形ABCD中,E为对角线BD上一。点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(。2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).

【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;正方。形的性质.
【分析】。(1)利用直。角三角形斜边上的中线等于斜边的。一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成。立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的。延长线交于N点;再证明△。DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出。△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.还。知道EG⊥C。G.
【解答】(1)证明:∵四边形abcd是正方形
∴∠DCF=90°,
在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=FD,
同理,在Rt△DEF中,E。G=FD,
∴CG=EG.


(2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG.证法一:连接AG,过G点作M。N⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG。与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠C。DG,DG=D。G,
∴△。DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴。△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG;
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,
∴四边形AENM是矩形,
在矩形AENM中,AM=EN,
在△A。MG与△ENG。中,
∵AM=EN,∠AMG。=∠ENG,MG=NG,
∴△。AMG≌。△E。NG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG.


证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接M。F,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MG。F=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt。△CBE中,
∵MF=CB,∠MFE=∠EBC,EF。=BE,
∴△MFE。≌△。CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠。MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三。角形.
∵。MG=CG,
∴EG=MC,
∴EG=CG.


(3)解:(1)中。的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并。延长CG交于M点,连接E。M、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中。点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,E。M=。EC
∵∠FEC+∠。BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG.




六、解答题(本题满分14分)
22.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A。(?3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)。求该抛物线的解析式;(2)如图(1),PQ是该抛物线对称。轴l上的动线段,且PQ=1,直接写出PC+QB的最小值;
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.求S与m的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)若点M为抛物线上异于F的一个动点,在第(3)问△AD。F的面积S取最大值的情况下,若S△MAD=3S△ADF,请直接写出M点坐标.

【。考点】二次函数综合题.
【分析】(1)运用。待定系数法即可求出抛物线的解。析。式.
(2)过点C作直线l的对称点E,过点E作EG⊥AB于G,过点Q作QF∥PE,交EG于点F,连接FB,如图1.易得PC+Q。B=PE+QB=FQ+QB,根据两点之间线段最短可得:FQ。+QB(即PC+QB)最小值。为FB,只需在Rt△FGB中运用勾股定。理。即可解决问题.
(3)运用待定系数法可。求出直线AD的解析式,由点E的横坐标为m可用m的代数式表示出点E、F的坐标,从而表示出EF的长,进而表示出△ADF。的面积,然后运用。配方法就可解决问题.
(4)过点M。作MN⊥DH,交直线。AD于N,交直线DH于Q,如图3.运用割补法可用MN表示出△ADM的面积,然后根据条件即可得。到M。N的值.设点M的坐标为(n,?n。2?2n+3),则点N的坐标为(n?,?n2?2n+3),将点N的坐标代入直线AD的解析式,求出n的。值,就可得到点M的坐标.
【。解答】解:(1)把A(?3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c,得:解得:.
则抛。物线的解析式为:y=?x2?2x+3.


(2)过点C作直线l的对称点E,过点E作EG⊥AB于G,过点Q作QF∥PE,交EG于点F,连接FB,如图1.

则有。PC=PE,EF∥PQ.
∵EF∥PQ,QF∥PE,
∴四边形EFQP是平行四边形,
∴。EF=PQ=1,EP=FQ,
∴PC=FQ,
∴PC+QB=FQ+QB,
根据两。点之间线段最短可得:FQ+QB(即PC+QB)最小值为FB.
∵抛物线y=?x2?2x+3的对称。轴为x=?1,C(0,3),
∴点E的坐标为(?2,3),
∴。点F的坐标为(?2,2).
在Rt△FGB中,
FG=2,GB=1?(?。2)=3,
根据勾股定理可得:FB==.
∴PC+。QB的最小值为.


(。3。)∵抛物线y=?x2?2x+3=?(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标为(?1,4).
设直线AD的解析式为y=kx+b,
∵A(?3,0),D(。?。1,4),
∴,
解得:,
∴直线AD。的解析式为y=2x。+6.
∵点E的横。坐标为m,
∴E(m,2m+6),F(m,?m2?2m+3),
∴EF=?m2?2。m+3?(2m+6)=?m2?4。m?3,
∴S=S△DEF+S△AEF
=EF•GH+EF•AG
=EF•AH
=(?m2?4m?3)×。2
=?m2?4m?3
=?(m+2)2+1,
∴当m=?2时,S最大值为1.


(4)过。点M作MN⊥DH,交直线AD于N,交直线DH。于Q,如图3.

S△ADM=S△DMN+S△AMN
=MN•DQ+MN•QH
=MN•DH
=2MN.
由题可得:S△ADM=2MN=3,
∴MN=.
设点M的坐标为(n,?n2?2n+3),
则点N的坐标为(n?,?n2?2n+3).
∵点N在直线AD上,
∴?n2?2n+3=2(n?)+6,
整理得:n2+4n=0,
即n(n+4)=0,
解得:n1=0,n2=?4.
∴点M的坐标为(0,3)或(?4,?5

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